\section{Unit 0：预备知识}

\begin{frame}{线性代数快速复习}
    \begin{block}{矩阵基本概念}
        \begin{itemize}
            \item 矩阵表示：$A \in \mathbb{R}^{m \times n}$
            \item 矩阵运算：加法、数乘、矩阵乘法
            \item 特殊矩阵：对称矩阵、正交矩阵、对角矩阵
            \item 矩阵性质：秩、行列式、特征值
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{向量空间与子空间}
        \begin{itemize}
            \item 向量空间的定义与性质
            \item 子空间：列空间、零空间、行空间
            \item 基与维数
            \item 正交性与正交基
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{矩阵运算性质回顾}
    \begin{columns}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{block}{矩阵乘法性质}
                \begin{itemize}
                    \item 结合律：$(AB)C = A(BC)$
                    \item 分配律：$A(B+C) = AB + AC$
                    \item 一般不满足交换律
                    \item 转置性质：$(AB)^T = B^TA^T$
                \end{itemize}
            \end{block}
        \end{column}
        \begin{column}{0.5\textwidth}
            \begin{block}{重要矩阵类型}
                \begin{itemize}
                    \item 对称矩阵：$A = A^T$
                    \item 正交矩阵：$Q^TQ = I$
                    \item 正定矩阵：$x^TAx > 0$
                    \item 对角矩阵：$\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$
                \end{itemize}
            \end{block}
        \end{column}
    \end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{浮点数系统}
    \begin{block}{IEEE 754浮点数标准}
        \[ x = (-1)^s \times m \times 2^e \]
        \begin{itemize}
            \item $s$：符号位（0正1负）
            \item $m$：尾数，范围$[1, 2)$
            \item $e$：指数
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{浮点数精度}
        \begin{itemize}
            \item 单精度：32位，$\epsilon \approx 10^{-7}$
            \item 双精度：64位，$\epsilon \approx 10^{-16}$
            \item 机器精度：$\epsilon_{\text{machine}} = \frac{1}{2} \beta^{1-t}$
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{舍入误差分析}
    \begin{block}{舍入误差来源}
        \begin{itemize}
            \item 表示误差：实数到浮点数的转换
            \item 运算误差：浮点数运算的舍入
            \item 截断误差：无穷级数截断
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{浮点数运算性质}
        \begin{itemize}
            \item 加法不满足结合律
            \item 乘法不满足分配律
            \item 减法可能导致灾难性抵消
            \item 除法可能导致溢出
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数值稳定性概念}
    \begin{block}{稳定性定义}
        \begin{itemize}
            \item \textbf{向后稳定}：计算结果是邻近问题的精确解
            \item \textbf{向前稳定}：误差与条件数成正比
            \item \textbf{混合稳定}：结合向前和向后稳定性
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{稳定性分析}
        \begin{itemize}
            \item 误差传播分析
            \item 算法敏感性分析
            \item 数值实验验证
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{条件数分析}
    \begin{block}{条件数定义}
        对于线性方程组$Ax = b$，条件数：
        \[ \kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\| \]
        \begin{itemize}
            \item 条件数衡量问题对扰动的敏感程度
            \item $\kappa(A) \geq 1$
            \item 正交矩阵：$\kappa(Q) = 1$
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{病态问题特征}
        \begin{itemize}
            \item 条件数很大（$\gg 1$）
            \item 对输入扰动高度敏感
            \item 数值解可能完全错误
            \item 需要特殊算法处理
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{数值稳定性实例}
    \begin{exampleblock}{二次方程求根}
        经典公式：
        \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
        
        改进方法（避免抵消）：
        \[ x_1 = \frac{-b - \text{sign}(b)\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{c}{ax_1} \]
    \end{exampleblock}
    
    \begin{alertblock}{灾难性抵消}
        当两个相近数相减时，有效数字大量丢失，导致结果精度严重下降。
    \end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}{本章重点总结}
    \begin{block}{核心概念}
        \begin{itemize}
            \item 线性代数基础知识回顾
            \item 浮点数系统与舍入误差
            \item 数值稳定性分析
            \item 条件数概念与应用
        \end{itemize}
    \end{block}
    
    \begin{block}{学习目标}
        \begin{itemize}
            \item 理解数值计算的基本原理
            \item 掌握误差分析方法
            \item 为后续矩阵计算打下基础
            \item 培养数值敏感性
        \end{itemize}
    \end{block}
\end{frame}